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Codeforces - 24D 有后效性的 DP 处理

题意:在 \(n*m\) 的网格中,某个物体初始置于点 \((x,y)\),每一步行动都会等概率地停留在原地/往左/往右/往下走,求走到最后一行的的步数的数学期望,其中 \(n,m<1000\)

lyd 告诉我们这种题目要倒推处理。设 \(f[i][j]\) 为 (i,j) 到 (n,k) 的步数期望,k 为任意数

那么对于各种边界有如下情况

\[f[n][j]=0\] \[f[i][1]=\frac{1}{3}f[i][1]+\frac{1}{3}f[i][2]+\frac{1}{3}f[i+1][1]+1\] \[f[i][m]=\frac{1}{3}f[i][m]+\frac{1}{3}f[i][m-1]+\frac{1}{3}f[i+1][m]+1\] \[f[i][j]=\frac{1}{4}f[i][j]+\frac{1}{4}f[i][j-1]+\frac{1}{4}f[i][j+1]+\frac{1}{4}f[i+1][j]+1\]

式子 2~4 需要满足 \(i<n\),式子 4 需要满足 \(1<j<m\)

这种式子存在后效性,一种可行的方法是使用高斯消元处理,详见挑战程序设计竞赛 P289 Random Walk

但以上方法仅适用于 n*m<300 左右的式子,这种需要手动消元才能在 \(O(n*m)\) 的时间内处理 (其实硬上魔改应该也没问题?

首先要确认的是行内存在后效性,但行间无后效性,如果逆推的话就意味着在求解 \(f[i][j]\) 的时候 \(f[i+1][j]\) 是已知的,可作为常数处理

我们把常数项和未知数项分离

\[f[i][1]=(3+f[i+1][1])/2+\frac{1}{2}f[i][2]\] \[f[i][1]=A+B*f[i][2],A=(3+f[i+1][1])/2,B=1/2\] \[f[i][2]=(4+f[i][3]+f[i][1]+f[i+1][2])/3=(4+f[i][3]+A+B*f[i][2]+f[i+1][2])/3=(4+f[i][3]+A+f[i+1][2])/(3-B)\] \[f[i][2]=(4+A+f[i+1][2])/(3-B)+\frac{1}{3-B}f[i][3]\] \[f[i][2]=A'+B'*f[i][3],A'=(4+A+f[i+1][2])/(3-B),B'=1/(3-B)\]

以此类推直到

\[f[i][m-1]=A^{(m-1)}+B^{(m-1)}f[i][m]\]

\[f[i][m]=(3+A^{(m-1)}+f[i+1][m])/(2-B^{(m-1)})\]

该项可以初始化

通过逆推计算就可以得出全部项,而\(f[x][y]\)就是答案

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<set>
#define rep(i,j,k) for(register int i=j;i<=k;i++)
#define rrep(i,j,k) for(register int i=j;i>=k;i--)
#define erep(i,u) for(register int i=head[u];~i;i=nxt[i])
#define iter(i,j) for(int i=0;i<(j).size();i++)
#define print(a) printf("%lld",(ll)a)
#define println(a) printf("%lld\n",(ll)a)
#define printbk(a) printf("%lld ",(ll)a)
#define IOS ios::sync_with_stdio(0)
using namespace std;
const int MAXN = 1e3+11;
const int oo = 0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
const double EPS = 1e-8;
typedef vector<double> vec;
typedef vector<vec> mat;
ll read(){
    ll x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,m;
double a[MAXN],b[MAXN],f[MAXN][MAXN];
int main(){
    while(cin>>n>>m){
        int x=read();
        int y=read();
        if(m==1){
            printf("%.4lf\n",(double)(n-x)*2.0);
            continue;
        }
        rep(i,0,m) f[n][i]=0;
        rrep(i,n-1,1){
            a[1]=(double)(3.0+f[i+1][1])/2.0;b[1]=0.5;
            rep(j,2,m-1){
                a[j]=(double)(4.0+a[j-1]+f[i+1][j])/(3.0-b[j-1]);
                b[j]=(double)1.0/(3.0-b[j-1]);
            }
            f[i][m]=(double)(3.0+a[m-1]+f[i+1][m])/(2.0-b[m-1]);
            rrep(j,m-1,1){
                f[i][j]=a[j]+b[j]*f[i][j+1];
            }
        }
        printf("%.10lf\n",f[x][y]);
    }
    return 0;
}
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